定积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 表示函数 f(x) 在区间 [a, b] 上与 x 轴之间围成的面积（当函数值为负时，面积为负）。
矩形法：将区间分成 n 个子区间，用每个子区间上的函数值构建矩形。
梯形法：将每个子区间上的曲线近似为直线，构成梯形。计算公式：
\(\frac{b-a}{2n}[f(a) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(b)]\)
微积分基本定理建立了定积分与原函数的关系：
\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)
其中 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。通过增加矩形数量，我们可以看到近似值如何越来越接近精确积分值。
将区间 [a, b] 分成 n 个等长子区间，用矩形逼近函数图像。
当函数单调时：
将每个子区间上的曲线用连接两端点的直线段代替，构成梯形。
梯形法公式：
\(T_n = \frac{h}{2}[f(a) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(b)]\)
其中 h = (b-a)/n 是子区间长度。
梯形法的误差通常比矩形法小，特别是对于平滑函数。
对于凸函数，梯形法的近似值总是大于实际积分值；对于凹函数，梯形法的近似值总是小于实际积分值。
辛普森（Simpson）法则使用抛物线逼近函数曲线。
辛普森法公式：
\(S_n = \frac{h}{3}[f(a) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + ... + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(b)]\)
其中 n 必须是偶数，h = (b-a)/n。
辛普森法则的精度通常优于矩形法和梯形法，对于具有连续导数的函数尤其有效。
当函数能够用三次或更低次数的多项式表示时，辛普森法则给出的是精确积分值。
对于上述近似方法，当子区间数量 n 增加时，近似误差通常会减小：
这说明辛普森法的收敛速度更快，需要较少的子区间就能获得较高的精度。