导数切线可视化

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导数切线控制面板

函数值 f(x) = 1.000
导数值 f'(x) = 2.000
切线方程: y = 2x - 1

导数的几何意义

导数是函数图像在某一点的瞬时变化率，几何上表现为该点处切线的斜率。

导数的定义

函数 f(x) 在点 x₀ 处的导数定义为：

f'(x₀) = limh→0 [f(x₀+h) - f(x₀)] / h

这表示当 h 趋近于零时，割线的斜率逐渐接近切线的斜率。

切线方程

函数 f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线方程：

y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

即：y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

导函数与函数关系

导函数 f'(x) 表示原函数 f(x) 在各点的斜率。

  • 当 f'(x) > 0 时，函数增加（切线向上倾斜）
  • 当 f'(x) < 0 时，函数减少（切线向下倾斜）
  • 当 f'(x) = 0 时，可能是极值点（切线水平）

二阶导数与凹凸性

二阶导数 f''(x) 描述导函数的变化率。

  • 当 f''(x) > 0 时，函数图像向上凸（凹函数）
  • 当 f''(x) < 0 时，函数图像向下凸（凸函数）
  • 当 f''(x) = 0 时，可能是拐点

导数的应用

  • 速度与加速度：位置函数的导数是速度，速度的导数是加速度
  • 最优化问题：寻找函数的最大值或最小值
  • 曲线绘制：理解函数的形状和变化趋势
  • 近似计算：利用线性近似简化复杂函数

常见函数导数

以下是一些常见函数的导数公式，这些是微积分中的基础知识。

f(x) = xn

f'(x) = nxn-1

f(x) = sin(x)

f'(x) = cos(x)

f(x) = cos(x)

f'(x) = -sin(x)

f(x) = ex

f'(x) = ex

f(x) = ln(x)

f'(x) = 1/x

f(x) = ax

f'(x) = axln(a)

f(x) = tan(x)

f'(x) = sec2(x)

f(x) = loga(x)

f'(x) = 1/(x·ln(a))

导数的运算法则

基本法则

  • 常数的导数：(c)' = 0
  • 和差法则：(f±g)' = f'±g'
  • 乘积法则：(fg)' = f'g + fg'
  • 商法则：(f/g)' = (f'g - fg')/g²

复合函数法则

链式法则：如果y = f(g(x))，则

dy/dx = f'(g(x)) · g'(x)

通常表示为：如果y = f(u)，u = g(x)，则

dy/dx = (dy/du) · (du/dx)

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